Conjuntos numéricos III

• Conjunto dos números naturais (N):

N= {0,1,2,3,4,5...}

Um subconjunto de N é o conjunto N*:

N* = { 1,2,3,4,5,6...} → O zero foi excluído do conjunto N.

• Conjunto dos números inteiros (Z):

Z = {... -3, -2, -1, 0, 1, 2, 3, 4...}

Além do conjunto N, convém destacar os seguintes subconjuntos de Z:

Z* = Z - {0}

Z+ = Conjunto dos números inteiros não negativos = { 0, 1, 2, 3, 4...}

Z- = Conjunto dos números inteiros não positivos = {0, -1, -2, -3, -4...}

Observer que Z+ = N

• Conjunto dos números racionais (Q)

Vamos acrescentar as frações positivas e negativas aos números inteiros e teremos os números racionais.

Então -2, -5/4, -1, -1/3, 0, 3/5, 1, 3/2, por exemplo são números racionais.

Todo número racional pode ser colocado em forma a/b, com a E Z (a pertence aos inteiros), b E Z(b pertence aos inteiros) e b ≠ 0 (b diferente de 0).

Exemplos:

-2 = -2/1 = -4/2 = -6/3 0 = 0/1 = 0/2 = 0/3

Assim, podemos escrever:

Q = {x\ x = a/b, com a E \Z, b E Z e b≠ 0}

É interessante considerar a representação decimal de um número racional a/b, que se obtém dividindo-se a por b:

1/2 = 0,5 -5/4 = =1,25 75/20 = 3,75

Estes exemplos se referem às decimais exatas ou finitas.

1/3 = 0,333... 7/6= 1,1666... 6/7 = 0,857142857...

Estes exemplos se referem às decimais periódicas ou infinitas. (são aquelas onde se observa uma repetição nas casas decimais).

Então, toda decimal exata ou periódica pode ser representada na forma de número racional a/b.

0,5 = 5/10 = 1/2 0,333... = 3/9 = 1/3

Observações:

Na representação dos números racionais sobre uma reta podemos dizer que:

→ Entre dois inteiros nem sempre existe outro inteiro

→ Entre dois racionais sempre existe outro racional.

Entre 1 e 5/4 existe 6/5,

Entre 6/5 e 3/2 existe 5/4

Assim, dizemos que o conjunto dos números racionais é denso. Isso não quer dizer que preencha todos os pontos da reta, conforme veremos a seguir:

• Conjunto dos números irracionais (I):

Consideramos, por exemplo, os números √2 e √3, e vamos determinar a sua representação decimal:

√2 = 1,4142135... e √3 = 1,7320508...

Observamos, então, que existem decimais infinitas não periódicas, às quais damos o nome de números irracionais que não podem ser escritos na forma a/b.

* Um número irracional bastante conhecido é o π = 3,1415926535...

• Conjunto dos números reais (R)

Dados Q (números racionais) e {irracionais}, define-se o conjunto dos números reais como:

R = Q U {irracionais} = {x x é racional ou x é irracional}

Assim são números reais:

→ Os números naturais

→ Os números inteiros

→ Os números racionais

→ Os números racionais

Como subconjuntos importantes de R temos:

R* = R - {0}

R+ = Conjunto dos números reais não negativos.

R - = Conjuto dos números reais não positivos.

Como os números reais resultam da união dos números racionais com os números irracionais, pode-se estabelecer uma correspondência biunívoca entre os pontos da reta e os números reais: Cada ponto representará um único número real e cada número real será representado por um único ponto.

A essa reta nos referimos como reta real.

(Resumo elaborado a partir do texto encontrado no livro Matemática, 2º grau, dos autores: José Ruy Giovanny, José Roberto Bonjorno e José Ruy Giovanni Jr.)